Родился в семье служащих. Выпускник медицинского факультета Московского университета 1925 года. Ученик профессора К. Ф. Вегнера, В. Д. Чаклина. С 1931 по 1958 работал заведующим кафедрой Свердловского государственного медицинского института (теперь Уральская государственная медицинская академия) и с 1944 по 1958 директором института восстановительной хирургии, травматологии и ортопедии в Свердловске. В годы Великой Отечественной войны — главный хирург Уральского военного округа. С 1958 работал заместителем директора по научной части института ортопедии и травматологии в Киеве и заведующим кафедрой Киевского института усовершенствования врачей. С 1964 года являлся проректором по научной части. Участвовал в редактировании раздела «Хирургия» во 2-м и 3-м издании БМЭ. Ф. Р. Богданов был членом президиума Всесоюзного общества травматологов-ортопедов, почетным членом обществ травматологов-ортопедов Болгарии, ГДР, Чехословакии, членом Международного общества травматологов-ортопедов (СИКОТ). Похоронен в Киеве на Байковом кладбище.